Prova matemática traça novos limites em torno da formação de buracos negros

Por meio século, os matemáticos tentaram definir as circunstâncias exatas em que um buraco negro está destinado a existir. Uma nova prova mostra como um cubo pode ajudar a responder à pergunta. 

Uma conjectura de 51 anos diz que se a matéria for espremida em um aro de um certo tamanho, um buraco negro certamente se formará.

A noção moderna de um buraco negro está conosco desde fevereiro de 1916, três meses depois que Albert Einstein revelou sua teoria da gravidade. Foi quando o físico Karl Schwarzschild, em meio aos combates no exército alemão durante a Primeira Guerra Mundial, publicou um artigo com implicações surpreendentes: Se massa suficiente for confinada em uma região perfeitamente esférica (limitada pelo “raio de Schwarzschild”), nada pode escapar da intensa atração gravitacional de tal objeto, nem mesmo da própria luz. No centro desta esfera encontra-se uma singularidade onde a densidade se aproxima do infinito e a física conhecida sai dos trilhos. 

Nos mais de 100 anos desde então, físicos e matemáticos exploraram as propriedades desses objetos enigmáticos da perspectiva da teoria e da experiência. Portanto, pode ser surpreendente ouvir que “se você pegar uma região do espaço com um monte de matéria espalhada nela e perguntar a um físico se essa região entraria em colapso para formar um buraco negro, ainda não temos as ferramentas para responder essa pergunta”, disse Marcus Khuri, matemático da Stony Brook University. 

Não se desespere. Khuri e três colegas – Sven Hirsch no Institute for Advanced Study, Demetre Kazaras na Michigan State University e Yiyue Zhang na University of California, Irvine – lançaram um novo artigo que nos aproxima da determinação da presença de buracos negros com base apenas em sobre a concentração da matéria. Além disso, seu artigo prova matematicamente que buracos negros de dimensões superiores – aqueles de quatro, cinco, seis ou sete dimensões espaciais – podem existir, o que não é algo que poderia ter sido dito com segurança antes. 

Para contextualizar o artigo recente, pode valer a pena recuar até 1964, ano em que Roger Penrose começou a introduzir os teoremas de singularidade que lhe renderam uma parte do Prêmio Nobel de Física de 2020. Penrose provou que, se o espaço-tempo tem algo chamado superfície aprisionada fechada – uma superfície cuja curvatura é tão extrema que a luz que sai é enrolada e virada para dentro – então também deve conter uma singularidade. 

Foi um resultado monumental, em parte porque Penrose trouxe novas e poderosas ferramentas da geometria e da topologia para o estudo dos buracos negros e de outros fenómenos na teoria de Einstein. Mas o trabalho de Penrose não explicou o que é preciso para criar uma superfície fechada fechada em primeiro lugar. 

Em 1972, o físico Kip Thorne deu um passo nessa direção ao formular a conjectura do aro. Thorne reconheceu que descobrir se um objeto não esférico – um objeto sem a simetria assumida nos esforços pioneiros de Schwarzschild – entraria em colapso num buraco negro seria “muito mais difícil de calcular [e] na verdade, muito além dos meus talentos”. (Thorne viria a ganhar o Prémio Nobel da Física de 2017.) No entanto, ele sentiu que a sua conjectura poderia tornar o problema mais administrável. 

A ideia básica é primeiro determinar a massa de um determinado objeto e, a partir disso, calcular o raio crítico de um aro no qual o objeto deve se encaixar – não importa como o aro esteja orientado – para tornar inevitável a formação de um buraco negro. Seria como mostrar que um bambolê que cabe na sua cintura também poderia – se girado 360 graus – caber em todo o seu corpo alongado, incluindo os pés e a cabeça. Se o objeto se ajustar, ele entrará em colapso e se transformará em um buraco negro. 

“A conjectura do aro não está bem definida”, comentou Kazaras. “Thorne usou intencionalmente palavras vagas na esperança de que outros fornecessem uma declaração mais precisa.” 

Em 1983, os matemáticos Richard Schoen e Shing-Tung Yau concordaram, provando uma versão importante da conjectura do aro, posteriormente referida como o teorema da existência do buraco negro. Schoen e Yau mostraram – em um argumento matemático claro – quanta matéria deve ser comprimida em um determinado volume para induzir a curvatura do espaço-tempo necessária para criar uma superfície aprisionada fechada. 

Kazaras elogiou o trabalho de Schoen-Yau por sua originalidade e generalidade; sua técnica poderia revelar se qualquer configuração de matéria, independentemente de considerações de simetria, estava destinada a se tornar um buraco negro. Mas sua abordagem tinha uma grande desvantagem. A maneira como eles mediram o tamanho de uma determinada região do espaço – determinando o raio do toro mais grosso, ou rosquinha, que poderia caber dentro – era, para muitos observadores, “pesada e não intuitiva”, disse Kazaras e, portanto, impraticável. 

O artigo recente oferece uma alternativa. Uma das principais inovações de Schoen e Yau foi reconhecer que uma equação concebida pelo físico Pong Soo Jang, que originalmente não tinha nada a ver com buracos negros, pode “explodir” – ir ao infinito – em certos pontos do espaço. Surpreendentemente, onde ela explode coincide com a localização de uma superfície aprisionada fechada. Portanto, se você deseja encontrar essa superfície, primeiro descubra onde a equação de Jang leva ao infinito. “No ensino médio, muitas vezes tentamos resolver uma equação quando a solução é igual a zero”, explicou o matemático Mu-Tao Wang, da Universidade de Columbia. “Neste caso, estamos tentando resolver a equação [Jang] de forma que a solução seja infinita.” 

Hirsch, Kazaras, Khuri e Zhang também contam com a equação de Jang. Mas, além de um toro, eles usam um cubo – que pode ser seriamente deformado. Essa abordagem “é semelhante à ideia de Thorne, usando aros quadrados em vez dos tradicionais aros circulares”, disse Khuri. Baseia-se na “desigualdade do cubo” desenvolvida pelo matemático Mikhail Gromov. Essa relação conecta o tamanho de um cubo à curvatura do espaço dentro e ao redor dele. 

O novo artigo mostra que se você puder encontrar um cubo em algum lugar do espaço onde a concentração de matéria seja grande em comparação com o tamanho do cubo, então uma superfície aprisionada se formará. “Esta medição é muito mais fácil de verificar” do que uma que envolve um toro, disse Pengzi Miao, matemático da Universidade de Miami, “porque tudo o que é necessário para calcular é a distância entre as duas faces opostas mais próximas do cubo”. 

Os matemáticos também podem construir rosquinhas (tori) e cubos em dimensões superiores. A fim de estender a sua prova da existência de buracos negros a estes espaços, Hirsch e colegas basearam-se em conhecimentos geométricos que foram desenvolvidos nas quatro décadas desde o artigo de Schoen e Yau de 1983. A equipe não conseguiu ir além de sete dimensões espaciais porque as singularidades começaram a surgir em seus resultados. “Contornar essas singularidades é um ponto de discórdia comum na geometria”, disse Khuri. 

O próximo passo lógico, disse ele, é provar a existência de um buraco negro com base na “massa quase local”, que inclui a energia proveniente tanto da matéria como da radiação gravitacional, e não apenas da matéria. Essa não é uma tarefa simples, em parte porque não existe uma definição universalmente aceita de massa quase local. 

Enquanto isso, surge outra questão: para criar um buraco negro de três dimensões espaciais, um objeto deve ser comprimido em todas as três direções, como insistiu Thorne, ou será que a compressão em duas direções ou mesmo em apenas uma será suficiente? Todas as evidências apontam para a veracidade da declaração de Thorne, disse Khuri, embora ainda não tenha sido provado. Na verdade, esta é apenas uma das muitas questões em aberto que persistem sobre os buracos negros depois de se terem manifestado pela primeira vez, há mais de um século, no caderno de um soldado alemão. 

Fonte: Quantamagazine.org